Calculer une dérivée (bonus)

Bonus facultatif : les règles de dérivation, les dérivées partielles et la pente exacte des erreurs des crêpes et des admissions

12 exercices

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1. Cours : pente d'une formule

   Au niveau 2, votre machine à zoomer trouvait la meilleure droite des crêpes en essayant des réglages de plus en plus fins. Avec deux réglages, c'est rapide. Avec dix mille, essayer ne suffit plus : il faut savoir dans…

2. Pente exacte

   Le calculateur de bord du stand de crêpes suit cinq courbes, toutes fonctions d'un même réglage $x$ : - les ventes selon la température : $f_1(x) = 2x^3 - 5x^2 + x - 7$ ; - l'affluence après l'ouverture…

3. Pente de l'écraseur

   Au niveau 2, le tableau des admissions passait chaque score $z$ dans la fonction que vous avez inventée pour écraser tout nombre entre 0 et 1 : $\sigma(z) = \dfrac{1}{1 + e^{-z}}$. Le capteur du tableau ne transmet que…

4. Étape fausse

   Un élève dérive $f(x) = x^2 e^{-x}$ : 1. $f = u \cdot v$ avec $u = x^2$ et $v = e^{-x}$ ; 2. $u' = 2x$ ; 3. $v' = e^{-x}$ ; 4. $f'(x) = u'v + uv' = 2x\,e^{-x} + x^2 e^{-x}$. Quelle étape est fausse ?

5. Deuxième étape fausse

   Un élève dérive $f(x) = \ln(1 + x^2)$, puis calcule la pente en $x = 1$ : 1. $f = \ln u$ avec $u = 1 + x^2$ ; 2. $(\ln u)' = \frac{1}{u}$ ; 3. donc $f'(x) = \frac{1}{1 + x^2}$ ; 4. $f'(1) = \frac{1}{2}$. Quelle étape…

6. Point sur la droite

   Pour régler la droite des points qui mentent, on calcule la pente de l'erreur absolue moyenne par rapport au réglage. Pour chaque point, la pente de $|r|$ (où $r$ est l'écart du point à la droite) vaut $+1$ si $r > 0$…

7. Cours : plusieurs réglages

   L'erreur de la droite des crêpes dépend de deux réglages, $a$ et $b$. Pour savoir comment elle réagit à $a$ seul, on gèle $b$ : il devient une constante, et l'on dérive par rapport à $a$ avec les règles…

8. Deux réglages

   Le tableau de bord du stand affiche trois indicateurs qui dépendent de deux réglages $a$ et $b$ : - $f_1(a, b) = a^3 b - 2ab^2 + 5b$ ; - $f_2(a, b) = e^{ab} - a$ ; - $f_3(a, b) = (14a + b - 190)^2$, l'écart au carré de…

9. Pente de l'erreur

   Revenez à la droite des crêpes $y = ax + b$ et aux points qui mentent. Pour régler la droite, le calculateur doit connaître la pente exacte de l'erreur par rapport à chacun des deux réglages, sur $n$ relevés…

10. Pente de l'admission

    Le jury du lycée prédit l'admission d'un élève à partir de sa note $x$ par $p = \sigma(w x + b)$, avec $\sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}$. Sur $n$ dossiers $(x_i, y_i)$, où $y_i$ vaut 1 si l'élève a été admis et 0…

11. Cours : ce que vous savez dériver

    Vous avez dérivé des pertes entières. Avec l'écart $r_i = \hat{y}_i - y_i$ de chaque relevé : - la pente de la moyenne des carrés d'une droite vaut $\frac{2}{n}\sum_i r_i\,(x_i, 1)$ ; - celle de la moyenne des écarts…

12. Deux mille capteurs

    La droite des crêpes a grandi : le calculateur prédit désormais $\hat{y} = Xw$ à partir de $d$ capteurs, sur $n$ relevés. $X$ a $n$ lignes (les relevés) et $d$ colonnes (les capteurs), $w$ contient les $d$ réglages, et…